“이 글을
군대에서 개같이 구르고 있을사랑하는 내 동생에게 헌정합니다.”
계승(factorial)은 다음과 같이 정의된다.
$$ z! = \begin{cases} z \times (z-1) \times (z-2) \times \dots \times 2 \times 1 &(z \in \mathbb{N}) \\ 1 &(z=0) \end{cases}\implies z!=\prod^z_{n=1}{n}\quad(z\in\mathbb{N_0}) $$
그러나 위 정의는 ‘윗 첨자가 $z$인 $\displaystyle\prod^z$(product, 수열의 곱)’을 포함하고 있기 때문에,
$z$가 범자연수(음이 아닌 정수)가 아닐 때 잘 정의되지 않으므로, 정의역을 확장하기 곤란하다.
본 포스팅에서는, 기존 factorial의 정의와 동치이나 $\displaystyle\prod^z$를 제거한 새로운 정의를 도출하여, factorial을 복소수 영역까지 확장하는 방법을 서술할 것이다.
factorial은 다음과 같은 점화식을 가진다.
$$ \begin{align} (z+1)!=& \, z!\times (z+1) \end{align} $$
따라서 ‘$z$의 다음 정수의 factorial’은, $z$의 factorial에 ‘$z$의 다음 정수’를 곱해주는 것으로 정의된다. 이를 아래와 같이 ‘그 다음번 정수’에 대한 식으로 계속 확장하면, ‘$z$의 $N$번째 다음 정수의 factorial’의 일반화된 형태를 얻을 수 있다.
$$ \begin{align} (z+1)!=& z!\times (z+1)\\ (z+2)!=& z!\times (z+1)(z+2)\\ &\vdots\\ (z+N)!=& z!\times (z+1)(z+2)(z+3)\cdots(z+N-1)(z+N)\quad(N\in\mathbb{N_0})\\ \therefore(z+N)!=&z!\prod^N_{n=1}{(z+n)} \end{align} $$
‘$z$의 $N$번째 다음 정수’는 ‘$N$의 $z$번째 다음 정수’와 같음을 이용하면,
$$ \begin{align} (z+N)!=& z!\prod^N_{n=1}{(z+n)}\\ (N+z)!=& N!\prod^z_{n=1}{(N+n)}\\ \therefore (z+N)!=&z!\prod^N_{n=1}{(z+n)}=N!\prod^z_{n=1}{(N+n)} \end{align} $$
아래와 같은 (범자연수) $z$와 $N$의 항등식을 얻는다.
$$ \begin{align} \therefore z!\prod^N_{n=1}{(z+n)}=N!\prod^z_{n=1}{(N+n)}\quad(z,\,N\in\mathbb{N_0}) \end{align} $$
이를 좌변에 $z!$ 만 남도록 이항하고 적절히 정리하면,
$$ \begin{align} z!&=\frac{N!\displaystyle\prod^z_{n=1}{(N+n)}}{\displaystyle\prod^N_{n=1}{(z+n)}}\\ &=\frac{\left(\displaystyle\prod^N_{n=1}{n}\right)\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{(N+n)}\right)}{\displaystyle\prod^N_{n=1}{(z+n)}}\\ &=\left(\displaystyle\prod^N_{n=1}{\frac{n}{z+n}}\right)\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{(N+n)}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{1}{1+\frac{z}{n}}}\right)\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{\frac{N+n}{N+1}\cdot(N+1)}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{1}{1+\frac{z}{n}}}\right)(N+1)^z\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{\frac{N+n}{N+1}}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{1}{1+\frac{z}{n}}}\right)\left(\frac{2}{1}\right)^z\left(\frac{3}{2}\right)^z\left(\frac{4}{3}\right)^z\cdots\left(\frac{N+1}{N}\right)^z\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{\frac{N+n}{N+1}}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{1}{1+\frac{z}{n}}}\right)\left(\prod^N_{n=1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^z\right)\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{\frac{N+n}{N+1}}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}}\right)\left(\displaystyle\prod^z_{n=1}{\frac{N+n}{N+1}}\right)\\ &=\left(\prod^N_{n=1}{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}}\right)\left(\prod^z_{n=1}{\left(1+\frac{n-1}{N+1}\right)}\right) \end{align} $$
이때, 이는 ‘어떤 $N$에 대해서도 참’(항등식)이므로 $N$에 극한을 취하면,