25.10.28 / Published by Markin.
현행 고교 미적분 교육과정에서는 지수함수와 로그함수의 미분법을 다룰 때, 자세한 증명은 생략하고 우선 상수 $e$를 다음 극한으로 정의한다.
$$ \begin{align} e:=\displaystyle\lim_{t\to0} (1+t)^{1/t}\approx2.71828... \end{align} $$
자연스럽게 다음과 같은 두 가지 의문이 생긴다.
1. $e$를 왜 $\,\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}$로 정의하는가?
본 게시글은 이러한 의문점을 해소하기 위해, 지수함수와 로그함수의 미분법에서 $e$의 극한 정의를 직접 유도하고, 그 극한값을 구하는 방법 또한 서술하고자 한다.
지수함수 $a^x\,\,(a>0)$의 도함수 $\frac{d}{dx}a^x$를 구해보자.
$$ \begin{align} \frac{d}{dx}f(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\\ \therefore\frac{d}{dx}a^x&=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{a^x(a^{h}-1)}{h}\\ &=a^x\cdot\boxed{\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}}\\ \end{align} $$
따라서 $\frac{d}{dx}a^x$는 자기 자신 $a^x$에 **어떤 극한값 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}$**을 곱한 것이다.
$$ \begin{align} \therefore\boxed{\frac{d}{dx}a^x=a^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}}\ \end{align} $$
그러므로 관건은 **극한 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}$**의 존재와 그 값이다. 한편 $\displaystyle\frac{a^{h}-1}{h}\;(h\neq0)$는 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align} \frac{a^{h}-1}{h}&=\frac{a^{h}}{h}-\frac{1^{h}}{h}\\
&=\left[\frac{t^{h}}{h}\right]^{t=a}_{t=1}\\
&=\boxed{\int_{1}^{a}{t^{h-1}}dt} \end{align} $$
이를 $h\to0$으로 보내는 행위를 (엄밀성을 다소 희생하고) 직관적으로 생각했을때, 적분과 극한을 교환하여 $\displaystyle\lim_{h\to0}\int_{1}^{a}{t^{h-1}}dt=\int_{1}^{a}{t^{-1}}dt$이 됨을 추측해볼 수 있다. 이 추측이 맞는지 확인하기 위해, 적당한 상한과 하한을 둬서 샌드위치 정리를 사용해보자.
우선 $1$과 $a$ 사이(;적분 범위)에 있는 어떤 수 $t$를 가정하자.
$$ \begin{align} \min\{1,a\}\leq t \leq \max\{1,a\} \end{align} $$